2.3. Соотношения неопределенностей

     Свойства микрочастиц. Открытие волновых свойств у микрочастиц показывает, что в физике микромира мы имеем дело с принципиально новым типом объекта исследований. В отдельных экспериментах микрочастицы проявляют волновые свойства, в других ведут себя подобно корпускулам, однако ни волнами, ни частицами в полном смысле слова они не являются. Здесь проявляется полная несостоятельность классического подхода при описании поведения микрочастиц.

     Отличие микрочастицы от волны состоит в том, что волну, используя, например, полупрозрачное зеркало, можно разделить на две части и отдельно исследовать каждую из них. Микрочастицу же, например, электрон или нейтрон, разделить на части невозможно. Никому еще не удавалось наблюдать пол-электрона, четверть нейтрона и т.д.

     Отличие микрочастицы от макроскопической частицы, подчиняющейся законам классической механики, заключается, в частности, в том, что для описания движения микрочастицы понятие траектории оказывается, вообще говоря, неприменимым. Проиллюстрируем это утверждение результатами опыта по дифракции электронов на двух щелях. В ряде учебных пособий этот опыт называют мысленным экспериментом, на практике он был осуществлен Йенсеном в 1961 г.

     Пусть параллельный пучок моноэнергетических электронов падает на диафрагму с двумя щелями ( рис.2.16 ). В силу того, что электроны обладают волновыми свойствами, на экране , расположенном за диафрагмой, возникает интерференционная картина, состоящая из чередующихся максимумов и минимумов (кривая ). Рассмотрим теперь случай, когда открыта только щель 1, а щель 2 закрыта. Тогда распределение электронов на экране определяется вкладом только от одной щели ( кривая 1'). Аналогично, если открыта щель 2 , а щель 1 закрыта, получаем распределение, описываемое кривой 2'. Если бы каждый электрон проходил через вполне

     определенную щель (1 или 2), то распределение электронов на экране в случае, когда открыты обе щели, описывалось бы кривой , которая является суммой кривых 1' и 2' и показана на рис. 2.16 пунктирной линией. Кардинальное отличие кривой от наблюдаемой на эксперименте интерференционной картины позволяет сделать заключение, что электрон при движении через диафрагму как бы "видит" обе щели. Только участием обеих щелей в прохождении электрона через диафрагму может быть объяснена возникающая на экране интерференционная картина. Любая попытка определить, через какую щель прошел электрон, неизбежно приводит к нарушению интерференции. Таким образом, мы приходим к выводу, что указать, через какую щель прошел электрон, не нарушая интерференционную картину, невозможно. Отсюда следует, что электрону, как и любой другой микрочастице, нельзя приписать определенную траекторию движения.

     Наличие у микрочастицы волновых свойств означает, как мы видим, отказ от одного из важнейших понятий классической механики - понятия траектории частицы. Согласно классическим представлениям частица, двигаясь по траектории, в каждый момент времени находится в определенной точке пространства и, следовательно, не может в этот же момент времени находиться в других точках. Согласно квантовым представлениям микрочастица в силу своих волновых может быть обнаружена в один и тот же момент времени в разных точках пространства. Таким образом, для описания движения микрочастиц понятие траектории оказывается, вообще говоря, неприменимым.

     Какие же свойства классических частиц сохраняются в области микромира? Это масса, электрический заряд и энергия, которая при взаимодействии частицы с другими телами расходуется так, как если бы частица была сосредоточена в одной точке.

     Соотношения неопределенностей. Двойственная корпускулярно-волновая природа микрочастиц накладывает ограничения на точность определения физических величин, характеризующих состояние частицы. Причем эти ограничения никак не связаны с точностью измерений, достижимой в конкретном эксперименте, а имеют принципиальное значение. Рассмотрим в качестве примера дифракцию электрона на щели.

     Пусть электроны падают нормально на непрозрачный экран , в котором имеется щель шириной (рис. 2.17).

     Дифракционная картина регистрируется фотопластинкой , расположенной за экраном. Направим ось в плоскости экрана перпендикулярно щели, а ось - вдоль направления движения падающего пучка электронов. Пусть падающие электроны обладают определенным импульсом , тогда, согласно квантово-механическим представлениям, эти электроны описываются плоской волной с волновым вектором , определяемым из уравнений де Бройля (2.4),

     

     Поскольку волна распределена по всему пространству, то каждый электрон до прохождения через щель электрон имеет точно определенный импульс

     

     и совершенно неопределенную координату .

     При прохождении электрона через щель ситуация существенным образом изменяется. Неопределенность координаты становится равной ширине щели , но при этом появляется неопределенность импульса , обусловленная дифракцией электронов на щели. Дело в том, что электроны, прошедшие через щель в экране, описываются уже не плоской, а расходящейся волной, интенсивность которой в соответствии с законами дифракции зависит от угла дифракции . Качественный вид дифракционной картины приведен на рис.2.17 .

     Наибольшее изменение при прохождении через щель претерпевает проекция импульса электрона на ось . Оценим по порядку величины разброс значений , обусловленный дифракцией электронов.

     Электроны, прошедшие через щель, в подавляющем большинстве случаев будут попадать в центральный дифракционный максимум. Границы этого максимума определяются углом дифракции , задающим направление на первый минимум интенсивности в дифракционной картине. Согласно теории дифракции этот угол находится из условия

     

     где - дебройлевская длина волны электрона. В силу малости угла , следовательно

     

     С другой стороны, угол можно определить через компоненты и импульса электрона:

     

     Считая, что неопределенность проекции импульса вдоль оси сравнима по порядку величины с , получаем

     

     Сравнивая (2.13) и (2.14) , находим, что

     

     Принимая во внимание, что

     

     получаем окончательный ответ

     

     Поскольку при выводе (2.15) использовались некоторые упрощающие предположения, то это соотношение, естественно, является приближенным. Строгий вывод, приведенный в разделе 3.7, дает следующий результат

     

     Это соотношение было получено в 1927 г немецким физиком В. Гейзенбергом и называется соотношением неопределенностей Гейзенберга. Из него следует, что чем точнее мы определяем координату частицы, т.е. чем меньше , тем более неопределенной становится проекция импульса частицы на эту координатную ось и наоборот.

     Соотношение неопределенностей является математическим выражением принципа неопределенностей. Согласно этому принципу в природе не существует состояния частицы с точно определенными значениями координаты и проекции импульса на эту координатную ось.

     Подчеркнем еще раз, что соотношение (2.16) является следствием корпускулярно-волнового дуализма материи, следствием того, что частица обладает одновременно и свойствами волны, и свойствами корпускулы. Оно никак не связано с погрешностью измерения конкретных измерительных приборов, используемых в том или ином эксперименте. Это соотношение задает теоретический предел точности измерения характеристик микрочастицы, который далеко не всегда может быть достижим на практике.

     Соотношение неопределенностей Гейзенберга связывает неопределенность координаты частицы с неопределенностью проекции импульса именно на данную координатную ось. Поскольку ось в предыдущем рассмотрении ничем не была выделена, то соотношение (2.16) оказывается справедливым и для других координатных осей

     

     В то же время не существует никаких принципиальных ограничений на точность определения координаты и проекции импульса на другую координатную ось, например, и или , и или .

     В квантовой механике соотношение неопределенностей имеет фундаментальное значение. Оно позволяет получать важные физические результаты, а также проводить численные оценки, не прибегая к точному, иногда достаточно трудоемкому, решению квантово-механической задачи. Так, соотношение неопределенностей позволяет понять, почему электрон в атоме не падает на ядро, почему электрон не может входить в состав атомного ядра, а также сделать ряд других физически значимых выводов. Соотношение неопределенностей дает возможность оценить по порядку величины размеры атома, минимальную энергию электрона в атоме и получить другие важные оценочные результаты.

     Покажем, каким образом соотношение неопределенностей позволяет сделать вывод об устойчивости атома. Рассмотрим атом водорода и будем считать, что электрон движется вокруг ядра (протона) по круговой орбите радиуса со скоростью . Поскольку движение электрона по орбите происходит под действием кулоновской силы, то, согласно II закону Ньютона

     

     Воспользуемся теперь соотношением неопределенностей. Будем считать, что неопределенность координаты электрона равна радиусу орбиты , а неопределенность импульса не превышает самого значения импульса , т.е. . В этом случае соотношение (2.16) принимает вид

     

     Объединяя (2.17) и (2.18) , получаем

     

     Следовательно, радиус орбиты электрона, т.е. радиус атома не может быть меньше найденной величины. Это означает, что электрон не может упасть на ядро, т.е. атом является устойчивым образованием.

     Cоотношение неопределенностей позволяет также очертить границы применимости классической механики. Чтобы продемонстрировать это, перепишем соотношение (2.16) так, чтобы в него явно входила масса частицы . Подставляя в (2.16), получаем

     

     Поскольку Дж c - очень малая величина, то неопределенность скорости может иметь заметное значение лишь для частиц с очень малой массой и для очень малых размеров .

     Возьмем в качестве примера малую, но макроскопическую частицу - пылинку, масса которой m =кг. Разумной погрешностью определения координат этой пылинки будем считать м. В этом случае неопределенность скорости пылинки составляет ~ м/c, что на много порядков меньше погрешности измерения лучших экспериментальных установок. Таким образом, для рассматриваемой пылинки, как и вообще для макроскопических тел, соотношение неопределенностей не играет практически никакой роли. Для описания движения таких тел необходимо пользоваться не квантовой, а классической механикой.

     Посмотрим теперь, что дает соотношение неопределенностей для микрочастицы, например, для электрона в атоме. Масса электрона кг , неопределенность его координаты возьмем по порядку величины равной размеру атома м. В этом случае ~10⁶ м/с .

     Сравним полученное значение со скоростью электрона в атоме. Энергия электрона в атоме по порядку величины составляет 10 эВ, что соответствует скорости электрона ~10⁶ м/с . Таким образом, неопределенность скорости электрона сравнима по порядку величины со скоростью электрона . Это означает, что для описания поведения электрона в атоме необходимо пользоваться законами квантовой механики.

     В дальнейшем (см. раздел 3.7) будет показано, что наряду с координатой и проекцией импульса существуют еще пары физических величин, которые не могут одновременно иметь точных значений. Для них также будут выполняться соотношения неопределенностей, аналогичные (2.16) . Из этих соотношений наиболее важное значение имеет соотношение неопределенностей, связывающее неопределенность энергии и времени . Формально это соотношение, получаемое, как и (2.16) , из математического аппарата квантовой механики, имеет вид

     

     Однако здесь необходима некоторая корректировка и пояснения. Обсудим это соотношение подробнее. Поскольку в эксперименте измеряется не полная энергия какого-либо состояния квантовой системы, а разность энергий, выделяющаяся при переходе из одного состояния в другое, то где и - энергии соответственно начального и конечного состояний системы. Так как знаки и могут быть, вообще говоря, различными, то правую часть соотношения (2.20) следует увеличить в два раза. Таким образом, соотношение неопределенностей для энергии и времени принимает вид

     

     Под в этом соотношении следует понимать время жизни системы в возбужденном состоянии с энергией . Под следует понимать разброс в энергии, которая выделяется при переходе системы из состояния с энергией в состояние с энергией .

     Следствия, вытекающие из соотношения неопределенностей (2.21) , можно наблюдать на эксперименте, например, в атомной спектроскопии. Хорошо известно, что линии в спектре излучения атомов не являются бесконечно узкими - это соответствовало бы значению , т.е. точно определенной энергии кванта излучения. Спектральные линии, наблюдаемые на эксперименте, имеют конечную, так называемую естественную ширину линии , которая представляет собой разброс энергии фотонов относительно некоторого среднего значения, характеризующего центр линии (рис.2.18).

     Из (2.21) следует, что эта ширина связана с временем жизни атома в возбужденном состоянии соотношением

     

     Измеряя на эксперименте естественную ширину спектральных линий , можно с помощью (2.22) найти время жизни атома в том или ином возбужденном состоянии. Так, естественная ширина линии, измеренная в спектре атомов, излучающих в видимом диапазоне, составляет по порядку величины ~ 10^-7 эВ . Подставляя это значение в (2.22), находим, что время жизни атома в возбужденном состоянии с . Более подробно вопрос об уширении спектральной линии атомов рассмотрен в разделе ...

     Следствия из соотношения неопределенностей. Обсудим следствия, вытекающие из соотношения неопределенностей. Об одном из них мы уже говорили - в квантовой механике теряет смысл понятие траектории частицы. Согласно классическим представлениям частица в каждый момент времени имеет точно определенную координату и скорость (или импульс), т.е. движется по траектории. Из соотношений (2.16) , (2.19) следует, что в квантовой механике может быть точно определена лишь одна из этих величин. Либо точно известна координата частицы, т.е. , но тогда совершенно не определена ее скорость, т.е. . Либо точно известна скорость частицы, , но тогда совершенно не определена ее координата, . В общем же случае в силу двойственной, корпускулярно-волновой природы частица обладает неопределенностью координаты и импульса, которые связаны соотношением (2.16) .

     Соотношение неопределенностей позволяет понять парадоксальное на первый взгляд поведение частиц в камере Вильсона. Напомним, что при прохождении через камеру Вильсона высокоэнергичные частицы оставляют в ней следы в виде четко выраженных траекторий - треков. Никакой размытости трека, связанной с волновыми свойствами частицы, не наблюдается. В чем же дело? Ответ заключается в следующем. Трек частицы в камере Вильсона представляет собой цепочку маленьких капелек тумана размером м . В этом случае неопределенность импульса частицы, согласно (2.16) , составляет

     

     что значительно меньше самой величины импульса . Это означает, что для описания поведения такой частицы применима классическая механика и без сколько-нибудь значительной ошибки можно говорить о траектории частицы. Этот вывод подтверждается также и тем, что для высокоэнергичных частиц, т.е. частиц с большим импульсом , дебройлевская длина волны оказывается очень малой. Такие частицы вполне можно считать классическими.

     Вторым следствием, вытекающим из соотношения неопределенностей, является вывод о невозможности состояния полного покоя микрочастицы.

     Действительно, если область изменения координаты частицы ограничена, например, , то, согласно (2.16) , такая частица имеет разброс по импульсам

     

     и, следовательно, отличную от нуля энергию. Оценим по порядку величины минимальную энергию , которой обладает частица. Минимальный разброс по импульсам

     

     Полагая, что , получаем

     

     Таким образом, частица в квантовой механике никогда не может находиться в состоянии полного покоя.

     Еще один важный вывод, вытекающий из соотношения неопределенностей, заключается в том, что в квантовой механике теряет смысл деление полной энергии частицы на кинетическую и потенциальную. Кинетическая энергия зависит от импульса частицы, а потенциальная энергия - от ее координаты. Но поскольку, согласно (2.16), координата и импульс не могут одновременно иметь определенные значения, то полная энергия , не может быть представлена в виде суммы одновременно точно определенных кинетической и потенциальной энергий. Таким образом, равенство для мгновенных значений и в квантовой механике невозможно.

     В дальнейшем будет показано, что это равенство оказывается справедливым для средних значений энергии .